Question

已知直線：(kR)與圓C:相交于點A、B, M為弦AB中點．
(Ⅰ) 當k=1時，求弦AB的中點M的坐標及AB弦長；
（Ⅱ）求證：直線與圓C總有兩個交點;
（Ⅲ）當k變化時求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）．

（1）先直線方程與圓的方程聯立，求交點坐標，再求弦長問題、中點坐標；（2）直線過定點，其在圓內；3（）利用直線斜率乘積為-1，求軌跡方程.
解 :（Ⅰ）當k=1時，由得   
設，，則
．∴．  
（Ⅱ）直線：（）過定點且P在圓內∴直線與圓總有兩個交點
（Ⅲ）∵，直線：（）過定點
∴點M在以OP為直經的圓周上．∴設
∵            
∴點M的軌跡方程．