Question

【題目】已知函數f（x）= +3lnax﹣x，g（x）=xex+cosx（a≠0）．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若x1∈[1，2]，x2∈[0，3]，使得f（ ）＞g（x2）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題知，a＞0時，x＞0；a＜0時，x＜0，

∵ ，

令f'（x）＞0，解得1＜x＜2；令f'（x）＜0，解得x＜1，或x＞2，

故當a＞0時，f（x）在（1，2）上為增函數，在（0，1）、（2，+∞）上為減函數；

a＜0時，f（x）在（﹣∞，0）上為減函數．

（2）解：x1∈[1，2]，x2∈[0，3]，

使得f（x1）＞g（x2）成立，

f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，

由（Ⅰ）知，a＞0，且f（x）max=f（2）=3ln2a﹣1，

又g'（x）=ex+xex﹣sinx＞0在[0，3]恒成立，即g（x）在[0，3]上單調遞增，

有g（x）min=g（0）=1，

故依題得3ln2a﹣1＞1，

解得： ．

【解析】（1）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，分別求出其最大值和最小值得到關于a的不等式，解出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．