Question

要使滿足關于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一個，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：

分析：不等式x²-4x+3＜0的解集為（1，3）；x²-6x+8＜0的解集為（2，4）．由于關于x的不等式2x²-9x+a＜0的解集非空，可得△＞0，可得a＜

81

8

．其解集為{x|

9- 81-8a

4

＜x＜

9+ 81-8a

4

}．由于關于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一個，可得

9- 81-8a 4 ≥1 9+ 81-8a 4 ≤4 a＜ 81 8

，解得即可．

解答： 解：不等式x²-4x+3＜0的解集為（1，3）；x²-6x+8＜0的解集為（2，4）．
∵關于x的不等式2x²-9x+a＜0的解集非空，∴△=81-8a＞0，解得a＜

81

8

．
∴

9- 81-8a

4

＜x＜

9+ 81-8a

4

．
由于關于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一個，
∴

9- 81-8a 4 ≥1 9+ 81-8a 4 ≤4 a＜ 81 8

，解得7≤a＜

81

8

．
∴實數a的取值范圍是[7，

81

8

)．
故答案為：[7，

81

8

)．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，考查了問題的轉化能力，屬于難題．