Question

【題目】已知斜率為的直線與橢圓C：交于A、B兩點，線段AB的中點為M（），（m）。

（1）證明：；

（2）設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且++=，證明：2||=||+||．

Answer 1

【答案】（1）見解析(2)見解析

【解析】

（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣，又點M（1，m）在橢圓內(nèi)，即，解得m的取值范圍，即可得k＜﹣，

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2

由++=，可得x3﹣1=0，由橢圓的焦半徑公式得則|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可證明|FA|+|FB|=2|FP|．

（1）設(shè)點,,則,

兩式相減有:,

即:

由題知:,

由題設(shè)得: ,故

（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2

∵++=，F(xiàn)（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，

∴x3=1

由橢圓的焦半徑公式得則|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

則|FA|+|FB|=4﹣，

∴|FA|+|FB|=2|FP|，