Question

已知橢圓：（a>b>0）的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，在直線x=2上的點P（2, ）滿足|PF₂|=|F₁F₂|，直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點A、 B．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足（O為坐標原點），求實數l的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為．
（Ⅱ）實數的取值范圍是．

解：（Ⅰ）依題意有
解得　　．
所求橢圓方程為． ………………………………………………5分
（Ⅱ）由得．
設點、的坐標分別為、，
則  ………………7分,．
（1）當時，點、關于原點對稱，則．
（2）當時，點、不關于原點對稱，則，
由，得      即
   點在橢圓上，有，
化簡，得．
，有……①…10分
又，
由，得……②　…12分
由①、②兩式得．，，則且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是．…………………14分