Question

（本小題滿分14分）
設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）設為橢圓上的兩個動點，，過原點作直線的垂線，垂足為，求點的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）點的軌跡方程為

（Ⅰ）證法一：由題設及，，不妨設點，其中．由于點在橢圓上，有，即．
解得，從而得到．
直線的方程為，整理得．
由題設，原點到直線的距離為，即，
將代入上式并化簡得，即．
證法二：同證法一，得到點的坐標為．
過點作，垂足為，易知，故．
由橢圓定義得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：設點的坐標為．
當時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．
點的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．將③式和④式代入得，
．
將代入上式，整理得．
當時，直線的方程為，的坐標滿足方程組
所以，．
由知，即，
解得．
這時，點的坐標仍滿足．
綜上，點的軌跡方程為　．
解法二：設點的坐標為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為．
記（顯然），點的坐標滿足方程組
由①式得．　　　　　　③
由②式得．　　　④
將③式代入④式得．
整理得，
于是．　　　⑤
由①式得．　　　⑥
由②式得．　　⑦
將⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是．　　　⑧
由知．將⑤式和⑧式代入得，
．
將代入上式，得．
所以，點的軌跡方程為．