Question

【題目】已知函數，的圖象與直線分別交于、兩點，則（ ）

A.的最小值為

B.使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線

C.函數至少存在一個零點

D.使得曲線在點處的切線也是曲線的切線

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

求出、兩點的坐標，得出關于的函數表達式，利用導數求出的最小值，即可判斷出A選項的正誤；解方程，可判斷出B選項的正誤；利用導數判斷函數的單調性，結合極值的符號可判斷出C選項的正誤；設切線與曲線相切于點，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出D選項的正誤.進而得出結論.

令，得，令，得，

則點、，如下圖所示：

由圖象可知，，其中，

令，則，則函數單調遞增，且，當時，，當時，.

所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，，A選項正確；

，，則，，

曲線在點處的切線斜率為，

曲線在點處的切線斜率為，

令，即，即，

則滿足方程，所以，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，B選項正確；

構造函數，可得，

函數在上為增函數，由于，，

則存在，使得，可得，

當時，；當時，.

，

所以，函數沒有零點，C選項錯誤；

設曲線在點處的切線與曲線相切于點，

則曲線在點處的切線方程為，即，

同理可得曲線在點處的切線方程為，

所以，，消去得，

令，則，

函數在上為減函數，，，

則存在，使得，且.

當時，，當時，.

所以，函數在上為減函數，，，

由零點存在定理知，函數在上有零點，

即方程有解.

所以，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線.

故選：ABD.