Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）由橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，且，，進(jìn)而可得其方程；（2）設(shè)直線的方程為，先根據(jù)，可得，①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決.

（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為4，且，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，

且，，所以，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）由題意知的斜率存在且不為零，

設(shè)直線的方程為，

∵，∴，即，①

聯(lián)立消可得，

設(shè)，，∴，，

∴，

∵四邊形為平行四邊形，故，

∴，整理可得，②，

將①代入②可得，該方程無解，故這樣的直線不存在.