Question

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的參數方程為（為參數，），曲線的極坐標方程為：．且兩曲線與交于兩點．

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設，若成等比數列，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由曲線的參數方程，消參能求出曲線的直角坐標方程；曲線的極坐標方程轉化為，由此能求出曲線的直角坐標方程．

（2）設直線的參數方程為（為參數），將參數方程代入曲線，得，由此能求出實數的值．

（1）由曲線的參數方程為（為參數，），

消參得曲線的直角坐標方程為．

∵曲線的極坐標方程為：．

∴，

∴曲線的直角坐標方程為．

（2）由直線過點，且傾斜角為，

設直線的參數方程為（為參數），

將參數方程代入曲線，得：

，

，解得，

且，，

由成等比數列，得，

由直線參數方程的幾何意義知

，即

∵，，

化簡為，

解得或（舍），

∴實數的值為