Question

【題目】已知的兩個頂點的坐標分別為，，且所在直線的斜率之積等于，記頂點的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點，點在曲線上，且為的重心（為坐標原點），求證：的面積為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，定值為.

【解析】

（Ⅰ）設，根據題意列方程即可求解.

（Ⅱ）設，，，由為的重心，可得，從而，，將直線與橢圓方程聯立整理利用韋達定理求出點坐標，代入橢圓方程可得，再利用弦長公式以及三角形的面積公式即可求解.

（Ⅰ）設，

因為點的坐標為，所以直線的斜率為

同理，直線的斜率為

由題設條件可得，.

化簡整理得，頂點的軌跡的方程為：.

（Ⅱ）設，，，

因為為的重心，所以，

所以，，

由得，

，，

，，∴，

又點在橢圓上，所以，

∴，

因為為的重心，所以是的倍，

，

原點到直線的距離為，

.

所以，

所以，的面積為定值，該定值為.