Question

已知O為坐標原點，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且

AB

=

BP

．
（1）求點P的坐標（用α表示）；
（2）若O，P，C三點共線，求以線段OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長；
（3）（文科）記函數f（α）=

BP

•

CA

，且f（

θ

2

）=

3 2

5

，求sin2θ的值．
（3）（理科）記函數f（α）=

BP

•

CA

，α∈（-

π

8

，

π

2

），討論函數f（α）的單調性，并求其值域．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）由于

AB

=

BP

，可解得

OP

=2

OB

-

OA

．
（2）由O，P，C三點共線，可得

OP

∥

OC

，利用向量共線定理可得2（2cosα-sinα）-sinα=0，可得即可得出tanα，2sinαcosα．即可得出|

OA

+

OB

|及.|

OA

-

OB

|．
（3）（文科）由

BP

=（cosα-sinα，-1），

CA

=（2sinα，-1），利用數量積可得函數f（α）=

BP

•

CA

=

2

sin(2α+

π

4

)．利用f（

θ

2

）=

3 2

5

，可得sin(θ+

π

4

)=

3

5

，
sin2θ=-cos(2θ+

π

2

)=-[1-2sin2(θ+

π

4

)]．
（3）（理科）同文科可得：函數f（α）=

BP

•

CA

=

2

sin(2α+

π

4

)．由α∈（-

π

8

，

π

2

），可得(2α+

π

4

)∈(0，

5π

4

)．利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）∵

AB

=

BP

，
∴（cosα，0）-（sinα，1）=

OP

-（cosα，0），
解得

OP

=（2cosα-sinα，-1）．
（2）∵O，P，C三點共線，∴

OP

∥

OC

，
∴2（2cosα-sinα）-sinα=0，化為tanα=

sinα

cosα

=

4

3

，
∴2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

=

24

25

．
∴|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

2sinαcosα+2

=

24 25 +2

=

74

5

．
|

OA

-

OB

|=

(sinα-cosα)2+1

=

2-2sinαcosα

=

2-2× 24 25

=

26

5

．
∴以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長分別為

74

5

，

26

5

．
（3）（文科）∵

BP

=（cosα-sinα，-1），

CA

=（2sinα，-1），
∴函數f（α）=

BP

•

CA

=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+1-2sin²α=sin2α+cos2α=

2

sin(2α+

π

4

)．
又f（

θ

2

）=

3 2

5

，∴

2

sin(θ+

π

4

)=

3 2

5

，化為sin(θ+

π

4

)=

3

5

，
∴sin2θ=-cos(2θ+

π

2

)=-cos2(θ+

π

4

)=-[1-2sin2(θ+

π

4

)]=-[1-2×(

3

5

)2]=-

7

25

．
（3）（理科）∵

BP

=（cosα-sinα，-1），

CA

=（2sinα，-1），
∴函數f（α）=

BP

•

CA

=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+1-2sin²α=sin2α+cos2α=

2

sin(2α+

π

4

)．
∵α∈（-

π

8

，

π

2

），∴(2α+

π

4

)∈(0，

5π

4

)．
當(2α+

π

4

)∈(0，

π

2

)時，即α∈(-

π

8

，

π

8

)，函數f（α）單調遞增；
當(2α+

π

4

)∈(

π

2

，

5π

4

)時，即α∈(

π

8

，

π

2

)，函數f（α）單調遞減．
∴sin(2α+

π

4

)∈(-

2

2

，1]，

2

sin(2α+

π

4

)∈(-1，

2

]，
∴f（α）的值域為(-1，

2

]．

點評：本題綜合考查了向量共線定理、坐標運算、數量積的性質、兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．