Question

【題目】如圖，把兩個全等的和分別置于平面直角坐標系中，使直角邊在軸上，已知點，過兩點的直線分別交軸、軸于點. 拋物線經過三點.

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）點為線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，交軸于點，問是否存在這樣的點，使得四邊形為等腰梯形？若存在，求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若沿方向平移（點始終在線段上，且不與點重合），在平移的過程中與重疊部分的面積記為，試探究是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線經過點即可根據待定系數法求得拋物線解析式；（2）首先分別作過點分別作梯形的高，將問題轉化為，然后設出點的坐標，由此通過建立方程求得點的坐標；（3）作于，設點移動的水平距離為，由此得到線段的長度，從而通過解直角三角形得到關于的函數關系式，進而根據二次函數的性質即可求得結果．

試題解析：（1）將分別代入，

得，解得：，所以.

（2）如圖1，過點分別作梯形的高，如果梯形是等腰梯形，那么因此，，

直線的解析式為，設點的坐標為，那么.

解方程，得，

的幾何意義是與重合，此時梯形不存在，所以.

（3）如圖2，與重疊部分的形狀是四邊形，作于，

設點移動的水平距離為，那么，，

在中，，所以.

在中，，所以，

所以，

在中，；

在中，；

所以.

因此，所以，

所以.

于是，

因為，所以當時，取得最大值，最大值為.