Question

【題目】已知函數 ．
（1）求f（x）的極值；
（2）當0＜x＜e時，求證：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）設函數f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1 ， f（x1）、B（x2 ， f（x2）），中點橫坐標為x0 ， 證明：f'（x0）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，f（x）的定義域是（0，+∞），

x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．

當x=e時，f（x）取極大值為 ，無極小值

（2）解：要證f（e+x）＞f（e﹣x），即證： ，

只需證明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．

設F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），

，

∴F（x）＞F（0）=0，

故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），

即f（e+x）＞f（e﹣x）

（3）解：證明：不妨設x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，

由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），

又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上單調遞減，

∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，

∴ ，∴f'（x0）＜0

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的極值即可；（2）問題轉化為證明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），設F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．