Question

【題目】現有 （n≥2，n∈N*）個給定的不同的數隨機排成一個下圖所示的三角形數陣：
設Mk是第k行中的最大數，其中1≤k≤n，k∈N*．記M1＜M2＜…＜Mn的概率為pn ．
（1）求p2的值；
（2）證明：pn＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知p2= = ，即p2的值為
（2）解：先排第n行，則最大數在第n行的概率為 = ；

去掉第n行已經排好的n個數，

則余下的 ﹣n= 個數中最大數在第n﹣1行的概率為 = ；

…

故pn= × ×…× = = ．

由于2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2＞Cn1+Cn2=Cn+12，

故 ＞ ，即pn＞

【解析】（1）由題意知p2= = ，（2）先排第n行，則最大數在第n行的概率為 = ，即可求出為pn ， 再根據二項式定理和放縮法即可證明．