Question

設a為實數，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當a=2時，求f（x）最小值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）用特殊值法判斷函數及不是奇函數又不是偶函數；
（2）根據二次函數的單調性即可得到結論．

解答： 解：（1）當a=0時，函數f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此時，f（x）為偶函數．
當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此時f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）若a=2，則f（x）=x²+|x-a|+1=x²+|x-2|+1
①當x≤2時，f（x）=x²-x+3=（x-

1

2

）²+

11

4

，
此時當x=

1

2

時，函數f（x）的最小值為f（

1

2

）=

11

4

，
②當x≥2時，函數f（x）=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
函數f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=3，
綜上當x=

1

2

時，函數f（x）的最小值為f（

1

2

）=

11

4

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷，以及二次函數的單調性和函數的最值，考查分類討論思想，綜合性較強，運算量較大．