Question

設向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且|2

a

-

b

|=

5

．
（1）求|

2a

-

3b

|的值；        
（2）求3

a

-

b

與

a

-2

b

夾角θ．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用數量積的定義及運算性質即可得出；
（2）利用數量積的定義及運算性質、向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且|2

a

-

b

|=

5

，
∴5=|2

a

-

b

|2=4

a

2+

b

2-4

a

•

b

=4×12+12-4

a

•

b

，
∴

a

•

b

=0．
∴|

2a

-

3b

|=

4 a 2+9 b 2-12 a • b

=

4×12+9×12-0

=

13

．
（2）∵|3

a

-

b

|=

9 a 2+ b 2-6 a • b

=

9+1-0

=

10

，|

a

-2

b

|=

a 2+4 b 2-4 a • b

=

1+4-0

=

5

，
（3

a

-

b

）•（

a

-2

b

）=3

a

2+2

b

2-7

a

•

b

=5．
∴cosθ=

(3 a - b )•( a -2 b )

|3 a - b | | a -2 b |

=

5

10 × 5

=

2

2

，
∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

．

點評：本題考查了數量積的定義及運算性質、向量的夾角公式，屬于基礎題．