Question

已知函數f（x）=2sin（πx+φ）（φ∈（0，π）的一條對稱軸為x=

1

6

．
（Ⅰ）求φ的值，并求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若函數f（x）與x軸在原點右側的交點橫坐標從左到右組成一個數列{a_n}，求數列{

1

anan+1

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據三角函數的對稱軸，即可求φ的值，進而可求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）求出數列{a_n}的通項公式，利用裂項法即可求數列{

1

anan+1

}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=2sin（πx+φ）（φ∈（0，π））的一條對稱軸為x=

1

6

，
所以sin(

π

6

+φ)=±1(φ∈(0，π)).φ=

π

3

，(φ∈(0，π))．…（4分）
所以f(x)=2sin(πx+

π

3

)，2kπ-

π

2

≤πx+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
即2k-

5

6

≤x≤2k+

1

6

，k∈Z．
所以函數f（x）的單調增區間為[2k-

5

6

，2k+

1

6

]，k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）sin(πx+

π

3

)=0，
得πx+

π

3

=nπ即x=n-

1

3

(n∈N•)．…（8分）
所以an=n-

1

3

=

3n-1

3

．…（10分）
所以

1

anan+1

=

9

(3n-1)(3n+1)

=3×(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，Sn=3×(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)=3(

1

2

-

1

3n+2

)，
Sn=

9n

6n+4

．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，以及數列通項公式以及前n項和Sn的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵．