Question

【題目】定義區(qū)間（m，n），，，的長(zhǎng)度均為，其中.

（1）若關(guān)于x的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度為，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求關(guān)于x的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍；

（3）已知關(guān)于x的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為5，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）觀(guān)察二次項(xiàng)的系數(shù)帶有字母，需要先對(duì)字母進(jìn)行討論，當(dāng)a等于0時(shí)，看出合不合題意，時(shí)，方程的兩根設(shè)為，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出兩根的和與積，表示出區(qū)間長(zhǎng)度，得到結(jié)果（2）根據(jù)所給的函數(shù)式，利用三角函九公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，根據(jù)二次不等式出不等式成立的條件，由此能求出結(jié)果（3）先解關(guān)于x的不等式組，解出兩個(gè)不等式的解集，求兩個(gè)不等式的解集的交集，，不等式組的解集的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6，寫(xiě)出不等式組進(jìn)行討論，得到結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解為，不成立；

當(dāng)時(shí)，方程的兩根設(shè)為，則，，

由題意知，

解得或（舍），

所以.

（2），

，

，

∴當(dāng)時(shí)，的解集為，

當(dāng)時(shí)，的解集為，

∴關(guān)于x的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍是.

（3）先解不等式，整理，得，解得.

∴不等式的解集為，

設(shè)不等式的解集為B，不等式組的解集為，

∵關(guān)于x的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為5，且A∩B（-2，5），

不等式等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，恒成立

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，得，

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，

當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，

∴實(shí)數(shù)，

綜上所述，t的取值范圍為.