Question

【題目】設拋物線的頂點為坐標原點,焦點在軸的正半軸上,點是拋物線上的一點，以為圓心,2為半徑的圓與軸相切,切點為.

(I)求拋物線的標準方程:

(Ⅱ)設直線在軸上的截距為6,且與拋物線交于,兩點,連接并延長交拋物線的準線于點,當直線恰與拋物線相切時,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

(Ⅱ) 直線的方程為或.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設拋物線方程為，由以為圓心，2為半徑的圓與軸相切，切點為，可得，故所求方程為．（Ⅱ）由題意設出直線的方程為，并設，由導數的幾何意義可得拋物線在點處的切線方程為，令，可得．根據三點共線得，整理得

，然后結合根與系數的關系可解得，于是可得直線的方程．

試題解析：

（Ⅰ）設拋物線方程為，

∵以為圓心，2為半徑的圓與軸相切，切點為，

∴，

∴該拋物線的標準方程為.

（Ⅱ）由題知直線的斜率存在，設其方程為，

由消取整理得，

顯然，．

設，則.

拋物線在點處的切線方程為，

令，得，可得點，

由三點共線得，

∴，即，

整理得,

∴

解得，即，

∴所求直線的方程為或.