Question

（（本題12分）如圖2，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E、F、G分別是DD₁、BD、BB₁的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求直線EF與直線CG所成角的余弦值；
(Ⅱ)求直線C₁C與平面GFC所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)以D為原點(diǎn)，DA，DC、DD₁所在直線分別為軸、軸、軸建系
∴E F C  C₁（0,1,1） G            …  2分
∴=  ∴       …   4分
（Ⅱ）設(shè)面GFC的法向量
∵      
∴                                                     …   6分
又 設(shè)直線C₁C與面GFC所成角為
∴                                    …  8分
（Ⅲ）設(shè)面EFC法向量
  ∴                                 …   9分
面FCB的法向量               …    11分
∵由圖知，二面角E—FC—B的平面角為鈍角
∴二面角E—FC—B的余弦值為                           …   12分

略