Question

(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點．
(I)求證：MN∥平面PCD；
(II)在棱PC上是否存在點E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請說明理由

Answer 1

（Ⅰ）證明：取PD中點為F，連結FC，MF．
∵,.
∴四邊形為平行四邊形，……………3分
∴，又平面,……………………5分
∴MN∥平面PCD.

（Ⅱ）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系。設AB=2，則B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，
設PC上一點E坐標為，，
即，
則．………………7分
由,解得．
∴.………………9分
作AH⊥  PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC,取為平面PBC的法向量．則，
∴設AE與平面PBC所成角為，,的夾角為，則
.………………12分

略