Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，當x＞0時滿足：①f（x）﹣2f（﹣x）＝0；②對任意x1＞0，x2＞0，x1≠x2有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0恒成立：③f（4）＝2f（2）＝2，則不等式x[f（x）﹣1]＞0的解集為_____（用區間表示）

Answer 1

【答案】.

【解析】

根據③和①，求得f（﹣4）＝1，，由②可知函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，結合題意，可以判斷出f（x）在（﹣∞，0）上為減函數，將不等式x[f（x）﹣1]＞0轉化為不等式組或，從而確定出結果.

根據題意，當x＞0時滿足f（x）﹣2f（﹣x）＝0，即f（x）＝2f（﹣x），

又由f（4）＝2f（2）＝2，則f（﹣4）＝1，；

若對任意x1＞0，x2＞0，x1≠x2有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上為增函數，

設x1＜x2＜0，則﹣x1＞﹣x2＞0，有，

即，所以，

則f（x）在（﹣∞，0）上為減函數，

x[f（x）﹣1]＞0或；

分析可得：﹣4＜x＜0或，即不等式的解集為，

故答案為：.