Question

【題目】已知拋物線的方程為，其焦點為，為過焦點的拋物線的弦，過分別作拋物線的切線，，設，相交于點．

（1）求的值；

（2）如果圓的方程為，且點在圓內部，設直線與相交于，兩點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）設，，設的方程為，代入拋物線方程得，得到，利用函數的導數求解切線的斜率，即可得出結果．

（2）由（1）知， 以及在點，處的切線方程，聯立兩切線方程，得到交點．由點在圓內，得到，再求出弦長，求出到直線的距離，利用構造法結合基本不等式求解最小值即可．

（1）設，，因為，

所以設的方程為，

代入拋物線方程得，從而，，

又由得，所以，，

因此，即，

所以．

（2）由（1）知，在點，處的切線方程分別為，，由兩切線方程聯立，解得：交點．

由點在圓內，得，

又因為，，其中為到直線的距離．

所以．

又的方程為，所以，

令，由得．又由，所以，

從而．

所以，當時，．