Question

【題目】定義：若函數y=f（x）在某一區間D上任取兩個實數x1、x2 ， 且x1≠x2 ， 都有 ，則稱函數y=f（x）在區間D上具有性質L．
（1）寫出一個在其定義域上具有性質L的對數函數（不要求證明）．
（2）對于函數 ，判斷其在區間（0，+∞）上是否具有性質L？并用所給定義證明你的結論．
（3）若函數 在區間（0，1）上具有性質L，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： （或其它底在（0，1）上的對數函數）
（2）解：函數 在區間（0，+∞）上具有性質L．

證明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2

則 = =

∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，2x1x2（x1+x2）＞0

即 ＞0，

∴

所以函數 在區間（0，+∞）上具有性質L

（3）解：任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2

則 = = =

∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，

∴（x1﹣x2）2＞0，4x1x2（x1+x2）＞0

要使上式大于零，必須2﹣ax1x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，

即 ，

∴a≤1，

即實數a的取值范圍為（﹣∞，1]

【解析】（1）寫出的函數是下凹的函數即可；（2）函數 在區間（0，+∞）上具有性質L．根據定義，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要證明 ＞0即可；（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2則 ＞0，只需要2﹣ax1x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即 ，故可求實數a的取值范圍．