Question

【題目】如圖所示,正三角形ABC所在平面與梯形BCDE所在平面垂直,,=4 ,,F為棱AE的中點.

(1)求證：平面平面；

(2)若直線與平面所成角為,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析，；(2)

【解析】(1)如圖,取中點,連接、,因為為中點,所以,又,,

所以,所以四邊形為平行四邊形,所以.又為正三角形,所以

,從而, (2分)

由,,可得,由平面ABC平面BCDE,平面ABC平面BCDE=BC,

可得平面ABC,因為平面ABC,所以,

因為,所以平面,

又平面,所以平面平面.(5分)

(2)因為,,所以,又,,

所以平面,所以平面,

所以為與平面所成的角,即,從而.(7分)

以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則,,,,,

所以,.(8分)

設(shè)平面的法向量為,則,即,解得.

令,得.

由(1)可知平面,所以為平面的一個法向量.

所以.

因為二面角為鈍角,所以其余弦值為.(12分)