Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)，在橢圓上，在線段上，且的周長等于．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交于點(diǎn)，，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由的周長為可得，由離心率得，進(jìn)而的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先根據(jù)韋達(dá)定理證明兩切斜線斜率積為，進(jìn)而得兩切線垂直，得線段為圓的直徑，，然后根據(jù)不等式及圓的幾何意義求的最大值．

試題解析：（1）由的周長為，得，，由離心率，得，．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

（2）設(shè)，則．

（ⅰ）若兩切線中有一條切線的斜率不存在，則，，另一切線的斜率為0，從而．此時(shí)，．

（ⅱ）若切線的斜率均存在，則，設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線方程為，

代入橢圓方程，消并整理得：．

依題意，．

設(shè)切線，的斜率分別為，，從而，即．

線段為圓的直徑，．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得：最大值是4．