Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)為a，側(cè)棱與底面所成的角為60°，且側(cè)面ABB₁A₁垂直于底面．
（Ⅰ）判斷B₁C與AC₁是否垂直，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求三棱柱的全面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接BC₁，作B₁D⊥AB，由已知條件得B₁C⊥BC₁，B₁D⊥面ABC，D為AB的中點(diǎn)，由此能證明B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出sin∠B1BC=

15

4

，sin∠A1AC=

15

4

，由此能求出三棱柱的全面積．

解答： 解：（Ⅰ）B₁C與AC₁垂直．
證明如下：
連接BC₁，由題意知B₁C⊥BC₁
作B₁D⊥AB，由條件知B₁D⊥面ABC，
又側(cè)棱與底面所成的角為60°，
∴D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，CD為CB₁在底面ABC上的射影
又B₁C⊥AB，∴B₁C⊥面ABC₁，∴B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）由題意知cos∠B1BC=cos∠B1BA•cos∠CBA=

1

4

，
∴sin∠B1BC=

15

4

同理可得sin∠A1AC=

15

4

∴S_側(cè)=AB×BB₁×sin60°+BC×BB₁×sin∠B₁BC+AC×AA₁×sin∠A₁AC
=

3

2

a2+2×a2×

15

4

=

3 + 15

2

a2
∴S全=2S底+S側(cè)=2×

3

4

a2+

3 + 15

2

a2=

2 3 + 15

2

a2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線是否存在的判斷與證明，考查三棱柱的全面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．