Question

在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓被直線：x-

3

y+4=0截得的弦長為2

3

．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l與圓O相交于A，B兩點，且點D（-1，0）在以AB為直徑的圓的內部，求直線L在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設x²+y²=r²，由已知條件求出r=

7

，由此能求出圓的方程為x²+y²=7．
（Ⅱ）設斜率為2的直線l的方程：y=2x+b，與圓O相交于A，B兩點，聯立

x2+y2=7 y=2x+b

，得5x²+4bx+b²-7=0，由此能求出直線l在y軸上的截距的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設x²+y²=r²，
圓心（0，0）到直線：x-

3

y+4=0的距離d=2，
又截得的弦長為2

3

，
所以r=

7

，圓的方程為x²+y²=7．（4分）
（Ⅱ）設斜率為2的直線l的方程：y=2x+b，
與圓O相交于A，B兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

x2+y2=7 y=2x+b

，得5x²+4bx+b²-7=0，

△=140-4b2＞0 x1+x2=- 4b 5 x1x2= b2-7 5

（5分）
已知點D（-1，0）在以AB為直徑的圓的內部，所以

DA

•

DB

＜0

DA

•

DB

=(x1+1，y1)•(x2+1，y1)=5xxx2+(2b+1)(x1+x2)+b2+1（10分）
=

2b2

5

-

4b

5

-6＜0，解得-3＜b＜5，滿足△＞0，
所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為（-3，5）．（12分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線在y軸上截距的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．