Question

已知圓心為的圓經過點.
（1）求圓的標準方程；
（2）若直線過點且被圓截得的線段長為，求直線的方程；
（3）是否存在斜率是1的直線，使得以被圓所截得的弦EF為直徑的圓經過
原點？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）;（2）或；（3）不存在．

試題分析：（1）用兩點的距離公式求出圓的半徑，就可寫出圓的標準方程；（2）法一：由圓的弦長可求得圓心到直線的距離，再用點斜式設出所求直線的方程，應用待定系數法：由點到直線的距離公式，就可求出所求直線的斜率，從而就可求得所求的直線方程，只是一定要注意：斜率不存在情形的討論；法二：設出直線的斜率，寫出直線方程，與圓方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，應用韋達定理及弦長公式，就可用斜率的代數式將弦長表示出來，從而獲得關于斜率的方程解之即得；一樣也需考慮斜率不存在情形；（3）法一：假設所求直線存在，先用斜截式設出其方程，并用m的式子表示出弦EF的中點坐標，再畫出圖形，由以弦EF為直徑的圓經過原點知，再作勾股定理即可獲得關于m的方程，解此方程，有解則存在，并可寫出對應直線方程，無解則不存在；法二：將直線方程與圓方程聯立，消元，再用韋達定理，將條件應用向量知識轉化為，然后將韋達定理的結論代入即可獲得關于m的方程，解此方程，有解則存在，并可寫出對應直線方程，無解則不存在．
試題解析：（1）圓的半徑為,        1分
∴圓的標準方程為.            3分
（2）方法一 如圖所示，設直線與圓交于兩點，且是的中點，則， 且，

∵圓的半徑為4，即
∴在中，可得，即點到直線的距離為2．           4分
（i）當所求直線的斜率存在時，設所求直線的方程為,即．           5分
由點到直線的距離公式得：=2，解得.
∴此時直線的方程為.            7分
（ii）當直線的斜率不存在時，直線的方程為.
將代入得，，
∴,,
∴方程為的直線也滿足題意.
∴所求直線的方程為或.         8分
方法二：當所求直線的斜率存在時，設所求直線的方程為,即.---4分
聯立直線與圓的方程:,          5分
消去得      ①
設方程①的兩根為,
由根與系數的關系得        ②
由弦長公式得|x₁-x₂|==4   ③
將②式代入③，并解得，
此時直線的方程為.            7分
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
仿方法一驗算得方程為的直線也滿足題意.
∴所求直線的方程為或.           8分
（3）方法一：假設存在直線滿足題設條件，設的方程為,
則的中點是兩直線與的交點,即,          10分
∴.
∵以為直徑的圓經過原點，
∴，
∴，  12分
又∵，，
∴，化簡得，
∵方程沒有實數解，
∴不存在滿足題設條件的直線．                14分
方法二： 假設存在直線滿足題設條件，并設的方程為，點，點,
聯立直線與圓的方程,          9分
消去得 
由根與系數的關系得      ④      11分
∵以為直徑的圓經過原點，
∴.
若、中有一點在軸上，則另一點必在軸上，而在圓的方程中令可得無實數解，故本情況不會出現．    --------12分
∴即，
∴，
化簡得: ，        13分
以④代入并化簡得 
∵方程沒有實數解，
∴不存在滿足題設條件的直線．               14分