Question

已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線相切
（1）求直線被圓C所截得的弦AB的長．
（2）過點G(1,3)作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M,N求直線MN的方程
（3）若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3），且

試題分析：（1）先由點到直線距離公式求出原點到直線的距離即為圓C的半徑，再寫出圓C的方程；（2）先求出以G為圓心|GM|的方程，圓G的方程與圓C方程相減就是其公共弦MN所在的直線方程；（3）先根據直線的方程求出的斜率，由直線⊥，求出的斜率，設出的斜截式方程，將直線方程與圓C方程聯立，消去y化為關于x的方程，設出，根據韋達定理將，用直線在y軸上截距b表示，由判別式大于0得到關于b的不等式，將∠POQ為鈍角轉化為，利用數量積的坐標運算，再列出關于b的不等式，這兩個不等式聯立就解出b的取值范圍．
試題解析：（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，
，所以圓的標準方程為：              2分
所以圓心到直線的距離         3分
     4分
（2）因為點,所以,
所以以點為圓心，線段長為半徑的圓方程： （1）
又圓方程為： （2），由得直線方程：     8分
（3）設直線的方程為：聯立得：，
設直線與圓的交點，
由，得， （3）   10分
因為為鈍角，所以,
即滿足，且與不是反向共線，
又，所以 （4）
由（3）（4）得，滿足，即，      12分
當與反向共線時，直線過原點，此時，不滿足題意，
故直線縱截距的取值范圍是，且       14分