Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，點是線段的中點．

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接，交于點，利用中位線定理可證得，從而得證；

（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，分別求兩個面的法向量，利用向量夾角公式求解即可.

（1）連接，交于點，連接，，

因為棱柱的側面是平行四邊形，所以是的中點．

又因為是中點，所以是的中位線．

所以．

又因為平面，平面．

所以平面．

（2）連接，，．

因為，．

故， 都為等邊三角形．

因為是中點，所以，，

因為，，所以，．

所以．

所以，，兩兩垂直，

以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

設平面的法向量，則，

取，得，

平面的法向量，

設二面角的平面角為，顯然為銳角，故，

所以二面角的余弦值為．