Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D與AD1交于點E，AA1＝AD＝2AB＝4.

（1）證明：AE⊥平面ECD.

（2）求直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明AA1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA1D1D，得到CD⊥AE.證明AE⊥ED.即可證明AE⊥平面ECD；

（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求解直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.

（1）證明：因為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，則AA1⊥CD.

又CD⊥AD，AA1∩AD＝A，平面AA1D1D，

所以CD⊥平面AA1D1D，所以CD⊥AE.

因為AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.

又CD∩ED＝D，平面ECD.

所以AE⊥平面ECD.

（2）

如圖，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的坐標系，A1D與AD1交于點E，AA1＝AD＝2AB＝4.

A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），

所以E（0，2，2），，，（2，4，﹣4），

設平面EAC的法向量為（x，y，z），可得，

即，不妨（﹣2，1，-1），

所以直線A1C與平面EAC所成角的正弦值為.