Question

【題目】若關于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）

A.[0，2e]B.（﹣∞，2e]C.[0，2e2]D.（﹣∞，2e2]

Answer 1

【答案】C

【解析】

討論a＜0時，f（x）＝e2x﹣alnx無最小值，不符題意；檢驗a＝0時顯然成立；討論a＞0時，求得f（x）的導數和極值點m、極值和最值，解不等式求得m的范圍，結合a＝2me2m，可得所求范圍．

解：當a＜0時，f（x）＝e2x﹣alnx為（0，+∞）的增函數（增函數+增函數=增函數），此時時，f（x），所以不符合題意；

當a＝0時，e2x﹣alnxa即為e2x≥0顯然成立；

當a＞0時，f（x）＝e2x﹣alnx的導數為＝2e2x，

由于y＝2e2x在（0，+∞）遞增（增函數+增函數=增函數），

設＝0的根為m，即有a＝2me2m，.

當0＜x＜m時，＜0，f（x）單調遞減；當x＞m時，＞0，f（x）單調遞增，

可得x＝m處f（x）取得極小值，且為最小值e2m﹣alnm，

由題意可得e2m﹣alnma，即alnma，

化為m+2mlnm≤1，設g（m）＝m+2mlnm，＝1+2（1+lnm），

所以函數在內單調遞減，在單調遞增.

當m＝1時，g（1）＝1，當時，.

可得m+2mlnm≤1的解為0＜m≤1，

設

所以函數在單調遞增.

則a＝2me2m∈（0，2e2]，

綜上可得a∈[0，2e2]，

故選：C．