Question

【題目】已知數列的首項為1，且，數列滿足，，對任意，都有.

（1）求數列、的通項公式；

（2）令，數列的前項和為.若對任意的，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）

【解析】

試題（1）由，得，又，兩式相減得，整理得，即，又因為，，

利用累積法得，

從而可求出數學的通項公式為；

在數列中，由，得，且，

所以數學是以首項為，公比為的等比數列，從而數列的通項公式為.

（2）由題意得，

，

兩式相減得，

由等比數列前項和公式可求得，

由不等式恒成立，得恒成立，

即（）恒成立，

構造函數（），

當時，恒成立，則不滿足條件；

當時，由二次函數性質知不恒成立；

當時，恒成立，則滿足條件．

綜上所述，實數的取值范圍是．

試題解析：（1）∵，∴()，兩式相減得，，

∴，即()，又因為，，從而

∴()，

故數列的通項公式()．

在數列中，由，知數列是等比數列，首項、公比均為，

∴數列的通項公式．

（2）∴①

∴②

由①-②，得，

∴，

不等式即為，

即（）恒成立．

方法一、設（），

當時，恒成立，則不滿足條件；

當時，由二次函數性質知不恒成立；

當時，恒成立，則滿足條件．

綜上所述，實數λ的取值范圍是．

方法二、也即（）恒成立，

令．則，

由，單調遞增且大于0，∴單調遞增∴

∴實數λ的取值范圍是．