Question

【題目】在直角坐標系中，已知點，曲線的參數方程為（為參數），點是曲線上的任意一點，點為的中點，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求點的軌跡的極坐標方程；

（2）已知直線：與曲線交于點，，射線逆時針旋轉交曲線于點，且，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）設出點坐標，利用中點坐標公式得到曲線的參數方程，消去參數，可得曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可得解；

（2）設出射線的極坐標方程，代入的極坐標方程，求得，再求出射線的極坐標方程，代入的極坐標方程，求得，進而得到，結合題意，可求得，最后借助的范圍即可得解.

（1）設，，

因為點為的中點，，所以，

消去參數，可得的直角坐標方程為，

將，代入，

得曲線的極坐標方程為.

（2）設射線：，

將代入，得.

逆時針旋轉，得射線：，

將代入，得.

因為，所以，

所以，則，

又，所以，

所以或，解得或.

故的值為或.