Question

已知數列{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，并且滿足a₁+a₂=5，a₅+a₆=29，以及b₇=a₂₂
（1）求a₂₂的值；
（2）設b₈=64m（m≠0），求數列{b_n}的子數列b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，…的前n項和S_n．
（3）在（2）的條件下，若m=2，求數列{

1

3

(an+2)bn}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意，列出關于其首項與公差的方程組，解之即可得a_n，從而可求a₂₂的值；
（2）依題意可求得{b_n}的公比q=m（m≠0），對m分類討論，可得數列{b_n}的子數列b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，…的前n項和S_n．
（3）可求得b_n=2^n-1，從而可得T_n=1+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則

2a1+d=5 2a1+9d=29

，解得d=3，a₁=1，…3分
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a₂₂=64…5分
（2）∵{b_n}為等比數列，b₇=a₂₂=64，b₈=64m（m≠0），
∴{b_n}的公比q=

b8

b7

=m（m≠0），
∴S_n=

64n，m=1 64(1-mn) 1-m ，m≠0且m≠1

…10分
（3）∵m=2，b₇=64=b₁•2⁶，
∴b₁=1，故b_n=2^n-1．
∴T_n=

1

3

[（a₁+2）b₁+（a₂+2）b₂+…+（a_n+2）b_n]
=

1

3

（3×1+6×2¹+…+3n×2^n-1）
=1+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1①…12分
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②
①-②得：-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n×2ⁿ
=（1-n）×2ⁿ-1，…14分
∴T_n=1+（n-1）×2ⁿ…15分

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，突出考查等差數列的通項公式與等比數列的通項公式，著重考查錯位相減法求和，屬于難題．