Question

【題目】已知函數(shù)，是的導函數(shù)，.

（1）當時，判斷函數(shù)在上是否存在零點，并說明理由；

（2）若在上存在最小值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不存在零點，理由見解析；（2）

【解析】

（1）當時，得，對求導，從而得單調性，即可判斷零點；

（2）求出的導函數(shù)，結合，討論的單調性，看是否存在最值即可得到答案.

（1）時，.

令，即，，得，

當變化時，，變化如下：

	-	0	+
	減	最小值	增

∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.

∴的極小值為.∴函數(shù)在上不存在零點.

（2）因為，所以，

令，則.

①當時，，即，

∴在單調遞增，

∴時，，

∴在單調遞增，∴在不存在最小值，

②當時，，

所以，即在內有唯一解，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，又因為，

所以在內有唯一零點，

當時，即，

當時，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增.

所以函數(shù)在處取得最小值，

即時，函數(shù)在上存在最小值.

綜上所述，在上存在最小值時，的取值范圍為.