Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）設，當時，對任意，存在，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調減區間是，單調增區間是，；當時，單調增區間是，沒有單調減區間；（2）.

【解析】

（1）先求函數的定義域，利用函數的導函數，得或，當時，分，討論即可得到答案；

（2）當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，

從而在上的最小值為，由題意得，即，令，求新函數的最大值即可得實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，

，

由，得或.

當即時，由得，

由得或；

當即時，當時都有；

當時，單調減區間是，單調增區間是，；

當時，單調增區間是，沒有單調減區間.

（2）當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，

從而在上的最小值為.

對任意，存在，使得，

即存在，使的值不超過在區間上的最小值.

由，.

令，則當時，.

，

當時；當時，，.

故在上單調遞減，

從而，

從而.