Question

（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的點(diǎn)均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且對(duì)C₁上任意一點(diǎn)M，M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓C₂上點(diǎn)的距離的最小值.
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設(shè)P(x₀,y₀)（y₀≠±3）為圓C₂外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于
點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.

Answer 1

（1）.
（2）當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.

(1) 曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義可知曲線C₁為拋物線，此方程為.
(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)為，又，則過(guò)P且與圓
相切的切線方程為.則
整理得
設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，
故
由得
設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為,
則同理由可得
這樣可得,然后展開(kāi)將代入化簡(jiǎn)即可得到定值.
由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過(guò)P且與圓
相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為.
于是
整理得       ①
設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，
故     ②
由得    ③
設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程③的兩個(gè)實(shí)根，
所以   ④
同理可得    ⑤
于是由②，④，⑤三式得

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所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.