Question

過雙曲線x²-y²=1的右頂點作直線與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（　　）

• A、4條
• B、3條
• C、2條
• D、1條

Answer 1

分析：根據雙曲線的幾何性質，經過雙曲線的右頂點且與實軸垂直的直線必定與雙曲線有且只有一個公共點．當經過點A的直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線公共點也有且只有一個．由此結合直線方程與雙曲線方程的聯解加以驗證，可得滿足條件的直線共有3條．

解答：解：設題中滿足條件的直線為l，
∵雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，可得右頂點為A（1，0）．
①當直線l經過點A與x軸垂直時，直線l與雙曲線x²-y²=1有唯一的公共點，符合題意；
②當直線l經過點A，且與x軸不垂直時，設l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2-y2=1

消去y，得（k²-1）x²-2k²x+k²+1=0，
∵直線l與雙曲線有且只有一個公共點，∴k²-1=0或△=0．
由于△=（-2k²）²-4（k²-1）（k²+1）=4＞0恒成立，
∴k²-1=0，得k=±1，相應的直線l方程為y=x-1或y=1-x．
綜上所述，存在3條直線l，使得l經過雙曲線x²-y²=1的右頂點作直線與雙曲線有且只有一個公共點．
故選：B

點評：本題給出雙曲線方程，求經過雙曲線的右頂點且與雙曲線只有一個公共點的直線的條數．著重考查了直線的方程、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．