Question

（2010•濰坊三模）已知圓心在x軸正半軸上的圓C過雙曲線x²-y²=l的右頂點，且被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2

7

，則圓C的方程為（　　）

A．（x-2）²+y²=9

B．（x-2）²+y²=1

C．（x-6）²+y²=25

D．（x-6）²+y²=49

Answer 1

分析：由圓心在x軸正半軸上的圓C過雙曲線x²-y²=l的右頂點，設圓心C（x₀，0）（x₀＞0），雙曲線x²-y²=l的右頂點A（1，0），雙曲線的一條漸近線方程是x=y，圓C被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2

7

，知(x0-1)2-7=

x02

2

，由此能求出圓C的方程．

解答：解：∵圓心在x軸正半軸上的圓C過雙曲線x²-y²=l的右頂點，
∴設圓心C（x₀，0）（x₀＞0），
∵雙曲線x²-y²=l的右頂點A（1，0），雙曲線的一條漸近線方程是x=y，
∴圓C的半徑r=

( x0 -1)2

，圓心C（x₀，0）到漸近線x=y的距離d=

|x0|

2

，
∵圓C被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2

7

，
∴(x0-1)2-7=

x02

2

，
解得x₀=6，或x₀=-2（舍），
∴圓心C（6，0），半徑r=|CA|=5，
∴圓C的方程（x-6）²+y²=25．
故選C．

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的靈活運用．