Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與過點M（2

2

，0），N（0，

2

）的直線有且只有一個公共點，且橢圓C的離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程：
（Ⅱ）過點P（0，4）的直線l交橢圓C于A、B兩點，交x軸于點Q（點Q與橢圓頂點不重合），若

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，且λ₁+λ₂=8，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意，直線MN的方程為y=-

1

2

x+

2

，橢圓C：x²+4y²=4b²，直線方程代入，得2x²-4

2

x+（8-4b²）=0，由橢圓直線有且只有一個公共點，得b=1，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件推導出-

4

y1

-

4

y2

=8，∴

y1+y2

y1y2

=-2，設(shè)直線l的方程是x=t（y-4），聯(lián)立

x=t(y-4) x2 4 +y2=1

，得（t²+4）y²-8t²y+16t²-4=0，由此求出直線l的方程為x=±

5

5

(y-4)，從而得到Q點坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，直線MN的方程為y=-

1

2

x+

2

，
∵e=

3

2

，∴a²=4b²，
∴橢圓C：x²+4y²=4b²，
直線方程代入可得2x²-4

2

x+（8-4b²）=0，
∵橢圓直線有且只有一個公共點，
∴△=(-4

2

)2-8(8-4b2)=0，解得b=1，∴a=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵P（0，4）∴

PQ

=(x0，-4)，

QA

=(x1-x0，y1)，

QB

=(x2-x0，y2)，
∵

PQ

=λ₁

QA

=λ₂

QB

，且λ₁+λ₂=8，∴（x₀，-4）=λ₁（x₁-x₀，y₁）=λ₂（x₂-x₀，y₂），
∴-4=λ₁y₁，-4=λ₂y₂，
∴λ1=-

4

y1

，λ2=-

4

y2

，
∴-

4

y1

-

4

y2

=8，∴

y1+y2

y1y2

=-2，（i）
∵直線l過點P（0，4），設(shè)直線l的方程是x=t（y-4），
聯(lián)立

x=t(y-4) x2 4 +y2=1

，得（t²+4）y²-8t²y+16t²-4=0，
則y1+y2=

8t2

16t2-4

=-2，y₁y₂=

16t2-4

t2+4

，（ii）
把（ii）代入（i）得

8t2

16t2-4

=-2，解得t2=

1

5

，t=±

5

5

，滿足△＞0，
∴直線l的方程為x=±

5

5

(y-4)，令y=0，得x=±

4 5

5

，
∴Q點坐標為（±

4 5

5

，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．