Question

【題目】在四棱錐中，平面底面，，，平分，為的中點，，，，，分別為上一點，且.

（1）若，證明：平面.

（2）過點作平面的垂線，垂足為，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）在中，為直角，進而得，再利用比例關系式，得.利用面面平行的性質，證得結論；

（2）過作，垂足為，證得底面，得出三棱錐的高為，

再根據，即可求解三棱錐的體積.

試題解析：

（1）證明：在中，為直角，

，則，

又平分，∴，

∵，，∴由余弦定理可得，∴.

當時，.

又，，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

（2）解：過作，垂足為，則，

由得為等腰直角三角形，則也為等腰直角三角形.

∵平面底面，，∴底面，∴.

∵，，

∴平面，∴，則平面.

過作的垂線，垂足為，則底面.

易得.

∵，

∴.