Question

【題目】已知為坐標原點，設動點.

（1）當時，若過點的直線與圓：相切，求直線的方程；

（2）當時，求以為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）當時，設，過點作的垂線，與以為直徑的圓交于點，垂足為，試問：線段的長是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)或；(2)；(3)的長為定值為.

【解析】試題分析: （1）圓C：x2+y2﹣8x=0化為（x﹣4）2+y2=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4，分類討論即可求直線l的方程；

（2）設出以OM為直徑的圓的方程，變為標準方程后找出圓心坐標和圓的半徑，由以OM為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長，過圓心作弦的垂線，根據垂徑定理得到垂足為中點，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構成直角三角形，利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x﹣4y﹣5=0的距離d，根據勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；

（3）由于∽，∴，直線的方程為，求出，把前面得到的關系式代入即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值．

試題解析：

(1)解：依題意，

將圓：化為標準方程為：，

則圓心，半徑為，

∵直線過點，

∴當斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；

當斜率存在時，設過點的直線的方程為，即.

∵直線與圓相切，

∴圓心到直線的距離為4，

即，解得，

∴，即，

綜上可得，所求直線的方程為或.

（2）依題意得，（），

∴以為直徑的圓圓心為，半徑為，

∴圓的方程為，

∵以為直徑的圓被直線截得的弦長為2，

∴圓心到直線的距離為

，

∴，解得.

∴圓心為，半徑為，

∴所求圓的方程為.

（3）的長為定值.

理由如下：

依題意得（）

由于∽，

則，即，

∵直線的方程為，即

∴由點到直線的距離公式得，

又由兩點間的距離公式得，

∴，

∴，

∴的長為定值為.