Question

設函數f（x）=x²+bx+c，其中b，c是某范圍內的隨機數，分別在下列條件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”發生的概率．
（1）若隨機數b，c∈{1，2，3，4}；
（2）已知隨機函數Rand（　　）產生的隨機數的范圍為{x|0≤x≤1}，b，c是算法語句b=4*Rand（　　）和c=4*Rand（　　）的執行結果．（注：符號“*”表示“乘號”）

Answer 1

（1）由f（x）=x²+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即

b+c≤4 c≤3

（1分）
因為隨機數b，c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地產生16個數對（b，c），
列舉如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4分）
事件A：

b+c≤4 c≤3

包含了其中6個數對（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），（6分）
所以P(A)=

6

16

=

3

8

，即事件A發生的概率為

3

8

（7分）
（2）由題意，b，c均是區間[0，4]中的隨機數，產生的點（b，c）均勻地分布在邊長為4的正方形區域Ω中（如圖），其面積S（Ω）=16．（8分）
事件A：

b+c≤4 c≤3

所對應的區域為如圖所示的梯形（陰影部分），
其面積為：S（A）=

1

2

×(1+4)×3=

15

2

．（10分）
所以P(A)=

S(A)

S(Ω)

=

15 2

16

=

15

32

，即事件A的發生概率為

15

32

．（12分）