Question

（2013•永州一模）若兩整數a，b除以同一個整數m，所得余數相同，則稱a，b對模m同余．即當a，b，m∈z時，若

a-b

m

=k（k∈z，k≠0），則稱a、b對模m同余，用符號a=b（modm）表示．
（1）若6=b（mod2）且0＜b＜6，則b的所有可能取值為

2，4

；
（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），滿足條件的a由小到大依次記為a₁，a₂…a_n，…，當數列{a_n}前m-1項的和為60（m-1）時，則m=

10

．

Answer 1

分析：（1）由兩數同余的定義，m是一個正整數，對兩個正整數a、b，若a-b是m的倍數，則稱a、b模m同余，我們易得若6=b（mod2），則6-b為2的整數倍，則b=6-2n，n∈Z，再根據0＜b＜6易得答案．
（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由兩數同余的定義得，a=10+mn，n∈N^*，又a＞10，m＞1，分別取n=1，2，3，…，m-1得數列{a_n}前m-1項10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m-1），再根據數列{a_n}前m-1項的和60（m-1）結合等差數列的求和公式列出關于m的方程，即可求出m的值．

解答：解：（1）由兩數同余的定義，
m是一個正整數，對兩個正整數a、b，若a-b是m的倍數，
則稱a、b模m同余，
我們易得若6=b（mod2），b=6-2n，n∈Z，又0＜b＜6，
故b=2，4滿足條件．
（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由兩數同余的定義得，
a=10+mn，n∈N^*，又a＞10，m＞1，
故a=10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m-1）滿足條件．
數列{a_n}前m-1項的和為（m-1）（10+m）+

1

2

（m-1）（m-2）m=60（m-1），
解得m=10．
故答案為：2，4；10．

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．