Question

（2013•永州一模）提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時．研究表明：當50＜x≤200時，車流速度v與車流密度x滿足v(x)=40-

k

250-x

．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．
（Ⅰ）當0＜x≤200時，求函數v（x）的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到個位，參考數據

5

≈2.236）

Answer 1

分析：（I）根據題意，函數v（x）表達式為分段函數的形式，關鍵在于求函數v（x）在50≤x≤200時的表達式，根據分式函數表達式的形式，用待定系數法可求得；
（II）先在區間（0，50]上，函數f（x）為增函數，得最大值為f（50）=1500，然后在區間[50，200]上用基本不等式求出函數f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應的x值，兩個區間內較大的最大值即為函數在區間（0，200]上的最大值．

解答：解：（I）由題意：當0＜x≤50時，v（x）=30；
當50≤x≤200時，由于v(x)=40-

k

250-k

，
再由已知可知，當x=200時，v（0）=0，代入解得k=2000．
故函數v（x）的表達式為v(x)=

30，  0＜x≤50 40- 2000 250-x ，50＜x≤200

．…（6分）
（II）依題意并由（I）可得f(x)=

30x，  0＜x≤50 40x- 2000x 250-x ，50＜x≤200

，
當0≤x≤50時，f（x）=30x，當x=50時取最大值1500．
當50＜x≤200時，f（x）=40x-

2000x

250-x

=12000-[40（250-x）+

500000

250-x

]
≤12000-2

40(250-x)× 500000 250-x

=12000-4000

5

≈12000-4000×2.236=3056．
取等號當且僅當40(250-x)=

500000

250-x

，即x=250-50

5

≈138時，f（x）取最大值．
（這里也可利用求導來求最大值）
綜上，當車流密度為138 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3056輛/小時．…（14分）

點評：本題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．