Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若不等式對任意的正實數都成立，求實數的最大整數值.

（3）當時，若存在實數且，使得，求證.

Answer 1

【答案】（1）增區間，減區間；（2）2；（3）見解析

【解析】

（1）由，得，再求出函數的導函數，得到單調遞減區間，得到單調遞增區間；

（2）依題意得，所以，令，利用導數說明其單調性，由，，即存在使，且，所以，從而得到的取值范圍；

（3）令，解得，由題意知，即可得到函數的單調區間，即可得到，同理，從而得解；

解：（1）當時，，，令得，

當時，，單調遞減，即的單調遞減區間為；

當時，，單調遞增，即的單調遞增區間為.

（2）依題意得，

所以，

令，顯然在上單調遞增，

且，，∴存在使，

且當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

∴而，

∴，

∴，

∴，∴的最大整數值為2.

（3）令，解得，由題意知，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，

∵在上單減，在上單增，且，

∴當時，，由，，可得，

∴，∴，同理，

則，解得.