Question

如圖，四面體ABCD的各個面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求證：AB⊥BD；
（2）求四面體ABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：CD⊥平面ABC，再根據面面垂直的判斷定理可得：平面ABC⊥平面BCD，進而得到線面垂直得到線線垂直．
（2）此題分情況討論：當AC⊥CD時，則AB⊥BD，進而得到四面體ABCD的表面積．當AC與CD不垂直時，則AD⊥CD，當AD⊥AC時，再討論AB與AD不能垂直，并且BD與AD不能垂直，進而得到AB⊥BD得到答案．

解答：解：（1）因為AC⊥CD，BC⊥CD，
所以CD⊥平面ABC，
又因為CD?平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD，
因為AB⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AB⊥平面BCD，
所以AB⊥BD．
（2）當AC⊥CD時，則AB⊥BD，
因為AB=a，BC=b，CD=c，
所以BD=

b2+c2

，AC=

a2+b2

，
所以四面體ABCD的表面積S=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

a

b2+c2

+

1

2

c

a2+b2

．
當AC與CD不垂直時，則AD⊥CD，否則由（1）知AB⊥BD，可得AC⊥CD（矛盾），
當AD⊥AC時，AB與AD不能垂直，否則AD⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，
因為BC⊥CD，BC⊥平面ACD，
所以BC⊥AC，這與AB⊥BC矛盾，
所以BD⊥AD，從而可得：AD²=a²-b²-c²，…①
由AD⊥AC得，AD²=c²-b²-a²…②
由①②可得：a=c，所以AD²=-b²＜0矛盾．
所以AD⊥CD，從而得到AB⊥AD，
當AD⊥CD時，AD²=a²+b²-c²，
當AB⊥AD時，AD²=b²+c²-a²，
所以a=c，AD=b，此時四面體的各個面是全等的三角形，變形成為一平面圖形，所以舍去．
所以其表面積為S=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

a

b2+c2

+

1

2

c

a2+b2

．…12（分）

點評：本題主要考查空間中的點、線、面得位置關系，解決此類問題的關鍵是熟練掌握線面垂直、線線垂直、面面垂直的判定定理與性質定理，此題考查學生的推理論證與空間想象能力，以及考查分析問題與解決問題的能力，此題考查的知識比較基礎，但象這種基礎知識也是學生的薄弱點與易錯點．