Question

【題目】已知函數，，其中且，.

（I）若，且時，的最小值是－2,求實數的值；

（II）若，且時，有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）（II）

【解析】

試題分析：（I）根據對數運算法則得，因此當時，的最小值是－2，等價于最小值為；當時，的最小值是－2，等價于最大值為；再根據對勾函數可得，，因此有或，解得（II）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉化為對應函數最值問題：

，求二次函數最值可得實數的取值范圍

試題解析：解：（I）∵，

∴

，

易證在上單調遞減，在上單調遞增，且，

∴，，

∴當時，，由，解得（舍去）

當時，，由，解得.

綜上知實數的值是.

（II）∵恒成立，即恒成立，

∴.

又∵，，∴，

∴恒成立，

∴.

令，

∴.

故實數的取值范圍為.